ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$พิจารณา r_{1} จากโจทย์ x^{2} - y^{2} - 2 x + 4 y \leq 3 {(x - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} \leq 3 + 1 - 4 {(x - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} \leq 0 {(x - 1)}^{2} \leq {(y - 2)}^{2} \sqrt{{(x - 1)}^{2}} \leq \sqrt{{(y - 2)}^{2}} |x + 1| \leq |y - 2|$

$วิธีวาด |x + 1| \leq |y - 2| โดยแบ่ง 2 กรณี คือ กรณี 1 y - 2 \geq 0 \to y \geq 2 จะได้ |x + 1| \leq y - 2 y - 2 \geq |x + 1|$
$วาด y - 2 = |x + 1| ก่อน แล้วเอาพื้นที่เหนือกราฟ รวมเส้นกราฟ$

$กรณี 2 y - 2 < 0 \to y < 2 จะได้ |x + 1| \leq - (y - 2) วาด y - 2 = - |x + 1| ก่อน แล้วเอาพื้นที่ใต้กราฟ รวมเส้นกราฟ$

หลังจากนั้นนำกรณี 1 และกรณี 2 มารวมกัน
$จากสมการ |x + 1| \leq |y - 2| แต่ y \geq 0 จะได้กราฟของ r_{1} ดังรูปที่ 1$

$พิจารณา r_{2} จาก x^{2} + y^{2} - 2 x \leq 33 x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} \leq 33 + 1 {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq 33 + 1 {(x - 1)}^{2} + y^{2} \leq {(\sqrt{34})}^{2} แสดงว่า เป็นสมการวงกลม แต่ y \geq 0 จะได้กราฟของ r_{2}$

$พิจารณา r_{1} \cap r_{2} และหาจุด A, B จากสมการ |x + 1| = |y - 2| \to {(x - 1)}^{2} = {(y - 2)}^{2} \to 1 และ {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 34 \to 2 โดย y \geq 0$

$จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร แทน {(x - 1)}^{2} = {(y - 2)}^{2} ใน 2 จะได้ {(y - 2)}^{2} + y^{2} = 34 2 y^{2} - 4 y + 4 - 34 = 0 y^{2} - 2 y - 15 = 0 (y + 3) (y - 5) = 0 y = - 3, 5; โดย y > 0 ดังนั้น y = 5$
$แทน y = 5 ใน |x + 1| = |y - 2| จะได้ x = - 2, 4 ดังนั้น จุด A คือ (- 2, 5) และ จุด B คือ (4, 5)$

$จากโจทย์ โดเมนของเซต r_{1} \cap r_{2} คือช่วงปิด [a, b] จะได้ [a, b] = [- 2, 4] แสดงว่า a = - 2, b = 4 ดังนั้น a^{2} + b^{2} = 4 + 16 = 20 ค่าของ a^{2} + b^{2} = 20$