ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} A{A}^t = 9I \\ \mathrm{จะได้} \left[\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ a& b& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& a& 1\\ -2& b& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right] = 9\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ a& b& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& a& 1\\ -2& b& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 0& 9& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right] \end{gathered}$$

$\left[\begin{array}{ccc}9& 2a-2b+2& 0\\ 2a-2b+2& a^2+b^2+4& a+2b+4\\ 0& a+2b+4& 9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 0& 9& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right]$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสมบัติความเท่ากันของเมทริกซ์} \\ \mathrm{จะได้} 2a-2b+2 = 0 \to \boxed{1} \\ a+2b+4 = 0 \to \boxed{2} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1},\boxed{2} \mathrm{แก้} 2 \mathrm{สมการ} 2 \mathrm{ตัวแปร} \\ \boxed{1}+\boxed{2} ; 3a +6 =0 \\ \mathrm{จะได้} a=-2 , b=-1 \\ \mathrm{ดังนั้น} a^2-b^2 = {\left(-2\right)}^2-{\left(-1\right)}^2 \\ = 4-1 \\ = 3 \\ \mathbf{ค่าของ}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3} \end{gathered}$$