ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 15

กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นจุดสองจุดบนเส้นตรง $y = 2 x + 1$ ถ้าจุด $C (- 2, 2)$ เป็นจุดที่ทำให้ $|\bar{C A}| = |\bar{C B}|$ และ $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ แล้วสมการของวงกลมที่ผ่านจุด $A, B$ และ $C$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0$
2
$x^{2} + y^{2} + 2 y - 12 = 0$
3
$x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 = 0$
4
$x^{2} + y^{2} - 2 x - 12 = 0$
5
$x^{2} + y^{2} - 8 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B} = 0 และ จากสูตร u \cdot v = |u| |v| \cos θ โดย \cos 90 ° = 0 ทำให้ \overset{⇀}{C A} ⊥ \overset{⇀}{C B} (ตั้งฉากกัน) มุม A \hat{C} B = 90 ° เป็นมุมในครึ่งวงกลม แสดงว่า A B เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง กำหนดให้ จุด D = (h, k) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จะได้ จุด D อยู่กึ่งกลางระหว่าง A B นำมาวาดรูป$

$เมื่อจุด D อยู่บนเส้นตรง y = 2 x + 1 ด้วย จะได้ว่า k = 2 h + 1 2 h - k = - 1 k = 2 h + 1 \to 1 จากโจทย์ |\overset{⇀}{C A}| = |\overset{⇀}{C B}| แสดงว่า A B C เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะได้ \overset{⇀}{C D} ⊥ \overset{⇀}{A B}$
$ดังนั้น ความชันของ \overset{⇀}{C D} \cdot ความชันของ \overset{⇀}{A B} = - 1 (\frac{k - 2}{h + 2}) (2) = - 1 2 k - 4 = - h - 2 h + 2 k = 2 \to 2 จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร แทนค่า k จาก 1 ลงใน 2 จะได้ h + 2 (2 h + 1) = 2 จะได้ h = 0 และ k = 1 \to จุด D = (0, 1) - หารัศมีวงกลม จากระยะห่างจุด D และจุด C รัศมี (r) = \sqrt{{(- 2 - 0)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$

$จากสูตร สมการวงกลม คือ {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2} {(x - 0)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(\sqrt{5})}^{2} x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0 ดังนั้น ตอบ 1) x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0$