ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พาราโบลา} P} \\ \mathrm{จากโจทย์} P \mathrm{เป็นรูปพาราโบลารูปหนึ่ง} \\ \mathrm{ซึ่งมีสมการเป็น} x^2+4x+3y-5=0 \\ \mathrm{จะได้} x^2+4x = -3y+5 \\ x^2+4x+4 = -3y+5+4 \\ {\left(x+2\right)}^2 = -3y+9 \\ {\left(x+2\right)}^2 = -3\left(y-3\right) \to \boxed{1} \\ {\left(x+2\right)}^2 = 4\left(\frac{-3}{4}\right)\left(y-3\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{พาราโบลา} {\left(x-h\right)}^2 = 4c\left(y-k\right) \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{เป็นพาราโบลาที่มีแกนสมมาตรขนานแกน} y \\ \mathrm{และเป็นพาราโบลาคว่ำ} \left(c \mathrm{ติด} -\right) \\ \mathrm{จุดยอด} \left(h,k\right)=\left(-2,3\right) \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{พาราโบลา} P \mathrm{ตัดแกน} x \mathrm{ที่จุด} A \mathrm{และจุด} B \\ \mathrm{หาจุดตัดแกน} x \to \mathrm{แทน} y=0 \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} {\left(x+2\right)}^2 = -3\left(0-3\right) \\ {\left(x+2\right)}^2 = 9 \\ x+2 = \pm 3 \\ x = -5, 1 \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{จุด} A \mathrm{และ} B \mathrm{คือ} \left(-5,0\right) , \left(1,0\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{วงรี} E} \\ \mathrm{จากโจทย์} E \mathrm{เป็นวงรีที่มีจุดยอดที่จุด} A \mathrm{และ} B \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{แกนเอกอยู่บนแกน} \mathrm{x} \\ -\mathrm{จุดศูนย์กลางวงรี} \left(h,k\right) = \mathrm{จุดกึ่งกลางระหว่างจุด} A \mathrm{และ} B \\ = \left(\frac{-5+1}{2},0\right) \\ C\left(h,k\right) = \left(-2,0\right) \\ -\mathrm{ความยาวแกนเอก} \left(2a\right) = 1-\left(-5\right) \\ = 6 \\ a = 3 \\ \mathrm{นำมาวาดรูปวงรี} E \mathrm{ด้านล่าง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ผลบวกของระยะทางจากจุดยอดของพาราโบลา} P \\ \mathrm{ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรี} E \mathrm{เท่ากับ} 2\sqrt{13} \mathrm{หน่วย} \\ \mathrm{จะได้} VF+VF\text{'} = 2\sqrt{13} \\ \mathrm{แต่} ∆VFF\text{'} \mathrm{เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว} \left(VF=VF\text{'}\right) \\ 2VF = 2\sqrt{13} \\ VF = \sqrt{13} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{นำมาวาดรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} ∆VCF \mathrm{เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก} \\ \mathrm{จะได้} 3^2+c^2 = {\left(\sqrt{13}\right)}^2 \left(\mathrm{สูตรปีทาโกรัส}\right) \\ c^2 = 4 \\ c = 2 \\ \mathrm{จากสูตร} c^2 = a^2-b^2 \\ b^2 = a^2-c^2 \\ = 3^2-2^2 \\ = 5 \\ b = \sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{สมการวงรี} \frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2} = 1 \\ \frac{{\left(x+2\right)}^2}{3^2}+\frac{{\left(y-0\right)}^2}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2} = 1 \\ \frac{{\left(x+2\right)}^2}{9}+\frac{y^2}{5} = 1 \\ 5{\left(x+2\right)}^2+9y^2 = 45 \\ 5\left(x^2+4x+4\right)+9y^2 = 45 \\ 5x^2+20x+9y^2 = 25 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตอบ} 3) 5x^2+20x+9y^2 = 25 \end{gathered}$$