ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ABC} \mathrm{เป็นรูปสามเหลี่ยม} \\ \mathrm{มุม} \mathrm{ABC} \mathrm{เท่ากับ} 18° \mathrm{และมุม} \mathrm{ACB} \mathrm{เท่ากับ} 36° \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{A}\overbrace{\mathrm{B}}\mathrm{C}=18° , \mathrm{A}\overbrace{\mathrm{C}}\mathrm{B}=36° \\ \mathrm{B}\overbrace{\mathrm{A}}\mathrm{C}=180-36-18=126° \left(\mathrm{มุมภายในสามเหลี่ยม}=180°\right) \\ \mathrm{นำมาวาดรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{วงกลมมีรัศมีเท่ากับ} \mathrm{R} \mathrm{หน่วย} \mathrm{ความยาวของด้านตรงข้าม} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{มุม} \mathrm{A} \mathrm{และมุม} \mathrm{B} \mathrm{เท่ากับ} \mathrm{a} \mathrm{และ} \mathrm{b} \mathrm{หน่วยตามลำดับ} \\ \underline{\mathrm{กฎของวงกลม}} \left(\mathrm{ม}.\mathrm{ต้น}\right) \\ \mathrm{มุมที่จุดศูนย์กลาง} = 2 \mathrm{เท่าของมุมที่เส้นรอบวงเมื่อรองรับด้วยเส้นโค้งที่เท่ากัน} \\ \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{จุด} \mathrm{O}=\mathrm{จุดศูนย์กลางของวงกลม} \\ \mathrm{จาก} \mathrm{B}\overbrace{\mathrm{A}}\mathrm{C}=126° \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{B}\overbrace{\mathrm{O}}\mathrm{C}=2\left(126°\right)=252° \\ - \mathrm{นำมาวาดรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แบ่งครึ่งมุมป้านของ} \mathrm{B}\overbrace{\mathrm{O}}\mathrm{C}=\frac{108°}{2}=54° \\ \mathrm{ซึ่งจะทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก} \mathrm{ดังรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \sin 54°=\frac{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}{\mathrm{R}} \\ \frac{\mathrm{a}}{2}=\mathrm{Rsin}54° \\ \mathrm{a}=2\mathrm{Rsin}54° \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{กฎของไซด์} \frac{\mathrm{sinA}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{sinB}}{\mathrm{b}} \\ \mathrm{จะได้} \frac{\sin 126°}{\mathrm{a}}=\frac{\sin 18°}{\mathrm{b}} \\ \mathrm{b}=\frac{\mathrm{asin}18°}{\sin 126°} ; \mathrm{แทนค่า} \mathrm{a} \\ \mathrm{b}=\frac{\left(2\mathrm{Rsin}54°\right)·\sin 18°}{\sin 126°}\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โดย} \sin 126°=\sin \left(180°-54°\right) \\ =\sin 180°\cos 54°-\cos 180°\sin 54° \\ =0-\left(-1\right)\sin 54° \\ =\sin 54° \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} \mathrm{b}=\frac{\left(2\mathrm{Rsin}54°\right)·\sin 18°}{\sin 54°} \\ \mathrm{b}=2\mathrm{Rsin}18° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{a}-\mathrm{b}=2\mathrm{Rsin}54°-2\mathrm{Rsin}18° ; \mathrm{เปลี่ยน} \sin 54°=\sin 126° \\ =2\mathrm{R}\left[\sin 126°-\sin 18°\right] ; \mathrm{คูณ} \frac{2\cos 54°}{2\cos 54°} \mathrm{จะได้} \\ =2\mathrm{R}\left[\frac{2\cos 54°\sin 126°-2\cos 54°\sin 18°}{2\cos 54°}\right] \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} 2\mathrm{cosAsinB}=\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)-\sin \left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right) \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{a}-\mathrm{b}=2\mathrm{R}\left[\frac{\left(\sin 180°+\sin 72°\right)-\left(\sin 72°-\sin 36°\right)}{2\cos 54°}\right] \\ =2\mathrm{R}\left[\frac{0+\sin 72°-\sin 72°+\sin 36°}{2\cos 54°}\right] \\ =2\mathrm{R}\left(\frac{\sin 36°}{2\cos 54°}\right) \\ =2\mathrm{R}\left(\frac{\sin 36°}{2\cos \left(90-36\right)°}\right) \\ =2\mathrm{R}\left(\frac{\sin 36°}{2\sin 36°}\right) \\ =\mathrm{R} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ค่าของ} \mathrm{a}-\mathrm{b} \mathrm{เท่ากับ} \mathrm{R} \end{gathered}$$