ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 37

ให้ $A$ แทนเซตของ $(x, y)$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับระบบสมการ $2^{2 x} \log_{\frac{1}{4}} y = 1 + 2^{4 x - 1}$ , $9 (2^{2 x}) \log_{\frac{1}{8}} y = 9 + \log_{\frac{1}{2}}^{2} y$

และให้ $B = \{\frac{x}{y} (x, y) \in A\}$ ค่าน้อยที่สุดของสมาชิกในเซต $B$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 2^{2 x} \log_{\frac{1}{4}} y = 1 + 2^{4 x - 1} จะได้ 2^{2 x} \log_{2^{- 2}} y = 1 + \frac{2^{4 x}}{2} \frac{2^{2 x}}{(- 2)} \log_{2} y = \frac{2 + 2^{4 x}}{2} (- 1) 2^{2 x} \log_{2} y = 2 + 2^{4 x} กำหนดให้ a = 2^{2 x}, b = \log_{2} y จะได้ - ab = 2 + a^{2} \to 1 b = \frac{2 + a^{2}}{- a}; แทนใน 2$

$จากโจทย์ 9 (2^{2 x}) \log_{\frac{1}{8}} y = 9 + \log_{\frac{1}{2}}^{2} y จะได้ 9 (2^{2 x}) \log_{2^{- 3}} y = 9 + {(\log_{2^{- 1}} y)}^{2} \frac{9}{- 3} (2^{2 x}) \log_{2} y = 9 + (\frac{1}{- 1} \log_{2} y)^{2} - 3 (2^{2 x}) \log_{2} y = 9 + {(\log_{2} y)}^{2} กำหนดให้ a = 2^{2 x}, b = \log_{2} y จะได้ - 3 ab = 9 + b^{2} \to 2 แทน b = \frac{2 + a^{2}}{- a} ลงใน 2$

$จะได้ - 3 a [\frac{2 + a^{2}}{- a}] = 9 + {[\frac{2 + a^{2}}{- a}]}^{2} 3 (2 + a^{2}) = 9 + [\frac{4 + 4 a^{2} + a^{4}}{{(- a)}^{2}}] 6 + 3 a^{2} = \frac{9 a^{2} + 4 + 4 a^{2} + a^{4}}{a^{2}} (6 + 3 a^{2}) a^{2} = 9 a^{2} + 4 + 4 a^{2} + a^{4} 6 a^{2} + 3 a^{4} = 9 a^{2} + 4 + 4 a^{2} + a^{4} 2 a^{4} - 7 a^{2} - 4 = 0 (2 a^{2} + 1) (a^{2} - 4) = 0$
$a^{2} = - \frac{1}{2}, 4 แต่ a^{2} ต้อง \geq 0 จะได้ a^{2} = 4 a = 2, - 2 2^{2 x} = - 2, 2 แต่ 2^{2 x} ต้อง > 0 จะได้ 2^{2 x} = 2^{1} x = \frac{1}{2}$

$จาก 1 เมื่อ a = 2 จะได้ - (2) b = 2 + 4 - 2 b = 6 b = - 3; โดย b = \log_{2} y$
$จะได้ \log_{2} y = - 3 y = 2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} จากโจทย์ A แทนเซตของ (x, y) ทั้งหมด จะได้ A = {\frac{1}{2}, \frac{1}{8}} จากโจทย์ B = {\frac{x}{y} (x, y) \in A} จะได้ B = \frac{x}{y} B = \frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{8})} = \frac{8}{2} = 4$