ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}=\overline{0} \\ \mathrm{จะได้} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{เวกเตอร์} \overline{\mathrm{a}} \mathrm{ทำมุม} 135° \mathrm{กับเวกเตอร์} \overline{\mathrm{b}} \\ -\mathbf{โดย}\mathbf{ }\mathrm{มุมระหว่างเวกเตอร์} \mathrm{a} \mathrm{และ} \mathrm{b} \\ \mathrm{จะทำมุมกันแบบหางต่อหาง} \mathrm{หรือหัวต่อหัว} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{\theta }}_1=180°-135°=45° \\ \mathrm{ตามรูปด้านล่าง} \end{gathered}$$

จะได้ว่า 


$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{เวกเตอร์} \overline{\mathrm{b}} \mathrm{ทำมุม} 105° \mathrm{กับเวกเตอร์} \overline{\mathrm{c}} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{\theta }}_2=180°-105°=75° \\ \mathrm{ตามรูปด้านล่าง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{เวกเตอร์} \overline{\mathrm{c}} \mathrm{ทำมุม} 120° \mathrm{กับเวกเตอร์} \overline{\mathrm{a}} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{\theta }}_3=180°-120°=60° \\ \mathrm{ตามรูปด้านล่าง} \end{gathered}$$​

$\mathrm{เนื่องจาก} \overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}=\overline{0} \mathrm{จะได้รูปสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC} \mathrm{ดังนี้}$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{กฎของไซด์} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}} \\ \mathrm{พิจารณา} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}} \\ \frac{5}{\sin 75°}=\frac{\mathrm{b}}{\sin 60°} \\ \mathrm{b}=\frac{5}{\sin 75°}·\sin 60° \\ \mathrm{b}=\frac{5}{\sin 75°}·\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{พิจารณา} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}} \\ \frac{5}{\sin 75°}=\frac{\mathrm{c}}{\sin 45°} \\ \mathrm{c}=\frac{5}{\sin 75°}·\sin 45° \\ \mathrm{c}=\frac{5}{\sin 75°}·\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{b}+\mathrm{c}=\frac{5}{\sin 75°}·\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{5}{\sin 75°}·\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ =\frac{5}{\sin 75°}·\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โดย} \sin 75°=\sin \left(45°+30°\right) \\ =\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30° \\ =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{3}+1\right) ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} \mathrm{b}+\mathrm{c}=5\left(\frac{4}{\sqrt{2}}·\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)·\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =5\left(\frac{4}{\sqrt{2}}·\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)·\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\right) \\ =5\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)·\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\right) \\ =5\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)·\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\right) \\ =\frac{10+5\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} \\ \mathrm{ผลบวกของขนานของเวกเตอร์} \overline{\mathrm{b}} \mathrm{กับเวกเตอร์} \overline{\mathrm{c}} \mathrm{เท่ากับ} \frac{10+5\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} \end{gathered}$$