ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$จากโจทย์ a_{1} = 2 และ a_{n} = 3 a_{n - 1} + 1 - ลองหาค่า a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} และ a_{5} จะได้ a_{2} = 3 a_{1} + 1 = 3 (2) + 1 a_{3} = 3 a_{2} + 1 = 3 (3 (2) + 1) + 1 = 2 (3^{2}) + 3 + 1$

$a_{4} = 3 a_{3} + 1 = 3 (2 (3^{2}) + 3 + 1) + 1 = 2 (3^{3}) + 3^{2} + 3 + 1 a_{5} = 3 a_{4} + 1 = 3 (2 (3^{3}) + 3^{2} + 3 + 1) + 1 = 2 (3^{4}) + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1$

$พิจารณา a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} และ a_{5} จากที่นำมาจัดรูป ดังนั้น a_{n} = 2 (3^{n - 1}) + 3^{n - 2} + 3^{n - 3} + . . . . + 3 + 1 กระจาย 2 (3^{n - 1}) = 3^{n - 1} + 3^{n - 1} = 3^{n - 1} + 3^{n - 1} + 3^{n - 2} + 3^{n - 3} + . . . . + 3 + 1 = 3^{n - 1} + (3^{n - 1} + 3^{n - 2} + 3^{n - 3} + . . . . + 3 + 1) จัดรูปในวงเล็บ () = 3^{n - 1} + (3^{n - 1} + 3^{n - 2} + 3^{n - 3} + . . . . + 3 + 1) \to 1 - จะเห็นได้ว่า 1 + 3 + . . . . + 3^{n - 3} + 3^{n - 2} + 3^{n - 1} เป็นอนุกรมเรขาคณิต โดยมีค่า r = 3, a_{1} = 1$

$สูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}; เมื่อ |r| > 1 = \frac{a_{1} r^{n} - a_{1}}{r - 1} - นำ 1 + 3 + 3^{n - 3} + . . . . + 3^{n - 2} + 3^{n - 1} มาเข้าสูตร S_{n} = \frac{a_{1} r^{n} - a_{1}}{r - 1}; a_{1} = 1, r = 3 - แต่ 1 + 3 + 3^{n - 3} + . . . . + 3^{n - 2} + 3^{n - 1} ไม่ได้จบที่ 3^{n} ดังนั้นต้องปรับสูตร S_{n} ใหม่$
$จาก a_{n} = a_{1} r^{n - 1} a_{1} = \frac{a_{n}}{r^{n - 1}} แทน a_{1} ลงในสมการ S_{n} จะได้ S_{n} = \frac{(\frac{a_{n}}{r^{n - 1}}) r^{n} - a_{1}}{r - 1} = \frac{(\frac{a_{n}}{r^{- 1}}) - a_{1}}{r - 1} = \frac{a_{n} r - a_{1}}{r - 1}$

$- นำมาเข้าสูตร 1 + 3 + . . . + 3^{n - 3} + 3^{n - 2} + 3^{n - 1} S_{n} = \frac{a_{n} r - a_{1}}{r - 1}, a_{n} = 3^{n - 1}, r = 3 จะได้ S_{n} = \frac{a_{n} r - a_{1}}{r - 1} = \frac{3^{n - 1} (3) - 1}{3 - 1} = \frac{3 (3^{n - 1}) - 1}{2} ดังนั้น 1 + 3 + . . . + 3^{n - 3} + 3^{n - 2} + 3^{n - 1} = \frac{3 (3^{n - 1}) - 1}{2} - นำไปแทนค่าใน 1 จะได้$

$a_{n} = 3^{n - 1} + (1 + 3 + . . . . + 3^{n - 3} + 3^{n - 2} + 3^{n - 1}) = 3^{n - 1} + \frac{3 (3^{n - 1}) - 1}{2} = 3^{n - 1} + \frac{3 (3^{n - 1})}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} (3^{n - 1}) - \frac{1}{2}$

$จากโจทย์ S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n} แสดงว่า ต้องหาค่า S_{n} S_{n} = \sum_{} a_{n} แทนค่า a_{n} จะได้ = \sum_{} (\frac{5}{2} (3^{n - 1}) - \frac{1}{2}) = \frac{5}{2} \sum_{} (3^{n - 1}) - \sum_{} \frac{1}{2} \to 2$

$หาค่าของ \sum_{} (3^{n - 1}) \sum_{n = 1}^{n} 3^{n - 1} = 1 + 3 + 3^{2} + . . . + 3^{n - 1} โดยที่ S_{n} = \frac{a_{n} r - a_{1}}{r - 1} แทนค่า a_{n} = 3^{n - 1}, a_{1} = 1, r = 3 จะได้ S_{n} = \frac{3^{n - 1} (3) - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n - 1} (3) - 1}{3 - 1} = \frac{3 (3^{n - 1})}{2} - \frac{1}{2}; แทนค่าใน 2$

$จาก 2 S_{n} = \frac{5}{2} \sum_{} (3^{n - 1}) - \sum_{} \frac{1}{2} = \frac{5}{2} (\frac{3 (3^{n - 1})}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} n = \frac{5}{2} (\frac{3 (3^{n}) 3^{- 1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} n = \frac{5}{2} (\frac{(3^{n})}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} n = \frac{5}{4} (3^{n}) - \frac{5}{4} - \frac{1}{2} n คูณ 4 ทั้ง 2 ข้าง; 4 S_{n} = 5 \cdot (3^{n}) - 5 - 2 n = 5 \cdot (3^{n}) - 2 n - 5$

ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 26

เฉลยข้อสอบ

Facebook Messenger

แชทผ่าน LINE