ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 11

กำหนดให้ $θ$ เป็นจำนวนจริงใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
$(ก) 16 \sin^{3} θ \cos^{2} θ = 2 \sin θ + \sin 3 θ - \sin 5 θ$
$(ข) \sin 3 θ = (\sin 2 θ + \sin θ) (2 \cos θ - 1)$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \sin A - sinB = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2}) \cos 2 A = 1 - 2 \sin^{2} A \sin 3 A = 3 \sin A - 4 \sin^{3} A$

$(ก) จากโจทย์ 16 \sin^{3} θ \cos^{2} θ = 2 \sin θ + \sin 3 θ - \sin 5 θ พิจารณาฝั่งขวา = 2 \sin θ + (\sin 3 θ - \sin 5 θ) = 2 \sin θ + 2 \cos (\frac{3 θ + 5 θ}{2}) \sin (\frac{3 θ - 5 θ}{2}) = 2 \sin θ + 2 \cos 4 θ \sin (- θ)$
$โดย (\sin (- θ) = - \sin θ) = 2 \sin θ - 2 \cos 4 θ \sin θ = 2 \sin θ (1 - \cos 4 θ) \to 2 \sin θ (1 - \cos 2 (2 θ)) = 2 \sin θ (1 - (1 - 2 \sin^{2} 2 θ)) = 2 \sin θ \cdot 2 \sin^{2} 2 θ \to 2 \sin θ \cdot 2 {(\sin 2 θ)}^{2} = 4 \sin θ {(2 \sin θ \cos θ)}^{2} = 16 \sin^{3} θ \cos^{2} θ ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) จากโจทย์ \sin 3 θ = (\sin 2 θ + \sin θ) (2 \cos θ - 1) พิจารณาฝั่งขวา = (\sin 2 θ + \sin θ) (2 \cos θ - 1) = (2 \sin θ \cos θ + \sin θ) (2 \cos θ - 1) = \sin θ (2 \cos θ + 1) (2 \cos θ - 1) โดย (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} = \sin θ (4 \cos^{2} θ - 1) โดย \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$
$= \sin θ (4 (1 - \sin^{2} θ) - 1) = \sin θ (4 - 4 \sin^{2} θ - 1) = \sin θ (3 - 4 \sin^{2} θ) = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ = \sin 3 θ ข้อ (ข) ถูก$