ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 33

ให้ A เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $2 |z| - 3 z = 9 i - 2$ และ $B = \{{|w|}^{2} w = \frac{(1 + i) z}{2 + i} เมื่อ z \in A\} เมื่อ i^{2} = - 1$ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ z = a + ib |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} {|z|}^{2} = a^{2} + b^{2} จากโจทย์ 2 |z| - 3 z = 9 i - 2 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 3 (a + b i) = 9 i - 2 (2 \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 3 a) + (- 3 b) i = - 2 + 9 i$

$- เทียบสัมประสิทธิ์ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ จะได้ - 3 b = 9 และ 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 3 a = - 2 b = - 3 2 \sqrt{a^{2} + 9} - 3 a = - 2 2 \sqrt{a^{2} + 9} = 3 a - 2 \to 1$

$4 (a^{2} + 9) = 9 a^{2} - 12 a + 4 4 a^{2} + 36 = 9 a^{2} - 12 a + 4 5 a^{2} - 12 a - 32 = 0 (5 a + 8) (a - 4) = 0 a = - \frac{8}{5}, 4$

$- แทนค่า a = - \frac{8}{5} ใน 1 จะได้ 2 \sqrt{{(\frac{- 8}{5})}^{2} + 9} > 0 จาก 1 \to 3 a - 2 = 3 (- \frac{8}{5}) - 2 < 0 แสดงว่า a = - \frac{8}{5} ทำให้สมการเป็นเท็จ ดังนั้น a = 4 z = 4 - 3 i$

$จากโจทย์ w = \frac{(1 + i) z}{2 + i} = \frac{(1 + i) (4 - 3 i)}{2 + i} {|w|}^{2} = {|\frac{(1 + i) (4 - 3 i)}{2 + i}|}^{2} = {(\frac{|1 + i| |4 - 3 i|}{|2 + i|})}^{2} = {|\frac{(\sqrt{1^{2} + 1^{2}}) (\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}})}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}}|}^{2} = \frac{(2) (25)}{5} = 10$