ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาเซต}\mathbf{ }\mathbf{A} \\ - \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{A}=\mathrm{arccosx} \mathrm{จะได้} \mathrm{cosA}=\mathrm{x} \\ \mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยมได้ดังนี้} \end{gathered}$$ 

ทำให้    sinA = $\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}$
 

$$\begin{gathered} - \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{B}=\arccos \left(\mathrm{x}\sqrt{3}\right) \mathrm{จะได้} \mathrm{cosB}=\mathrm{x}\sqrt{3} \\ \mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยมได้ดังนี้} \end{gathered}$$

ทำให้ sinB = $\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}$

$$\begin{gathered} - \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{C}=\arccos \sqrt{1-{\mathrm{x}}^2} \mathrm{จะได้} \cos \mathrm{C}=\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยมได้ดังนี้} \end{gathered}$$
      
ทำให้ sinC = x
$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \arccos \mathrm{x}=\arccos \left(\mathrm{x}\sqrt{3}\right)+\arccos \sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\to \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} ; \mathrm{take} \cos \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \cos \mathrm{A}=\cos \left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) \\ \cos \mathrm{A}=\cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}-\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=\mathrm{x}\sqrt{3}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2} \mathrm{x} \\ \mathrm{x}=\mathrm{x}\left(\sqrt{3-3{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}\right) \\ 0=\mathrm{x}\left(\sqrt{3-3{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}\right)-\mathrm{x} \\ \mathrm{x}\left(\sqrt{3-3{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}-1\right)=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \sqrt{3-3{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}-1=0 \mathrm{หรือ} \mathrm{x}=0 \\ \sqrt{3-3{\mathrm{x}}^2}=\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}+1 ; \mathrm{ยกกำลังสอง} \\ 3\cancel{-3{\mathrm{x}}^2}=1\cancel{-3{\mathrm{x}}^2}+2\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2}+1 \\ 1=2\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2} \\ \frac{1}{2}=\sqrt{1-3{\mathrm{x}}^2} ; \mathrm{ยกกำลัง} 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}=1-3{\mathrm{x}}^2 \\ \cancel{3}{\mathrm{x}}^2=\frac{\cancel{3}}{4} \\ {\mathrm{x}}^2=\frac{1}{4} \\ \mathrm{x}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{x}=0 , \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{ตรวจคำตอบ}} \mathbf{แทน}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0} \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \arccos 0=\arccos 0+\arccos 1 \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+0 \mathrm{สมการเป็นจริง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{แทน}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \arccos \frac{1}{2}=\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\mathrm{\pi }}{ 3}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\pi }}{6} \mathrm{สมการเป็นจริง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{แทน}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \arccos (-\frac{1}{2})=\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ \mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\pi }}{6} \mathrm{สมการเป็นเท็จ} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{A}=\left\{0,\frac{1}{2}\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{ \mathrm{พิจารณา} \mathrm{x}=0} \mathrm{อยู่ในเซต} \mathrm{B} \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{จากโจทย์} \arccos \left(\mathrm{x}\right)=\arcsin \left(\mathrm{x}\right)+\arcsin \left(1-\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{แทน} \mathrm{x}=0 \arccos 0=\arcsin 0+\arcsin 1 \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}=0+\frac{\mathrm{\pi }}{2} \mathrm{สมการเป็นจริง} \\ \mathrm{จะได้} 0\in \mathrm{B} , 0\notin \mathrm{A}-\mathrm{B} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณา} \mathrm{x}=\frac{1}{2}} \mathrm{อยู่ในเซต} \mathrm{B} \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{แทน} \mathrm{x}=\frac{1}{2} \arccos \frac{1}{2}=\arcsin \frac{1}{2}+\arcsin \frac{1}{2} \\ \frac{\mathrm{\pi }}{3}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\pi }}{6} \mathrm{สมการเป็นจริง} \\ \mathrm{จะได้} \frac{1}{2}\in \mathrm{B} , \frac{1}{2}\notin \mathrm{A}-\mathrm{B} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{A}-\mathrm{B}=\varnothing \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนสมาชิกของ} \mathrm{P}\left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)=2^{\mathrm{n}\left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)}=2^0=1 \mathrm{ตัว} \end{gathered}$$