ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$สูตรตรีโกณ \cos A + \cos B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2}) (ก) จากโจทย์ \cos \frac{π}{5} + \cos \frac{3 π}{5} + cosπ = \frac{1}{2} = 2 \cos (\frac{\frac{π}{5} + \frac{3 π}{5}}{2}) \cos (\frac{\frac{π}{5} - \frac{3 π}{5}}{2}) + cosπ = 2 \cos (\frac{2 π}{5}) \cos (- \frac{π}{5}) + (- 1); \cos (- θ) = - \cos θ = 2 \cos \frac{2 π}{5} \cos \frac{π}{5} + (- 1); คูณ \sin \frac{π}{5} ทั้งเศษและส่วน = \frac{(2 \cos \frac{2 π}{5} \cos \frac{π}{5}) \sin \frac{π}{5}}{\sin \frac{π}{5}} + (- 1)$
$= \frac{\cos \frac{2 π}{5} (2 \sin \frac{π}{5} \cos \frac{π}{5})}{\sin \frac{π}{5}} + (- 1); 2 \sin A \cos A = \sin 2 A = \frac{\cos \frac{2 π}{5} \sin \frac{2 π}{5}}{\sin \frac{π}{5}} - 1; คูณ 2 ทั้งเศษและส่วน = \frac{2 \cos \frac{2 π}{5} \sin \frac{2 π}{5}}{2 \sin \frac{π}{5}} - 1; 2 \sin A \cos A = \sin 2 A = \frac{\sin \frac{4 π}{5}}{2 \sin \frac{π}{5}} - 1 \to 1$
$โดย \sin \frac{4 π}{5} = \sin (π - \frac{π}{5}) = \sin \frac{π}{5} แทนใน 1 จะได้ \cos \frac{π}{5} + \cos \frac{3 π}{5} + cosπ = \frac{\sin \frac{π}{5}}{2 \sin \frac{π}{5}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$

$สูตรตรีโกณ sinA cosB - cosA sinB = \sin (A - B) ข) จากโจทย์ \tan \frac{7 π}{16} - \tan \frac{3 π}{8} = \frac{\sin \frac{7 π}{16}}{\cos \frac{7 π}{16}} - \frac{\sin \frac{3 π}{8}}{\cos \frac{3 π}{8}} = \frac{\sin \frac{7 π}{16} \cos \frac{3 π}{8} - \cos \frac{7 π}{16} \sin \frac{3 π}{8}}{\cos \frac{7 π}{16} \cos \frac{3 π}{8}} = \frac{\sin (\frac{7 π}{16} - \frac{3 π}{8})}{\cos \frac{7 π}{16} \cos \frac{3 π}{8}} = \frac{\sin \frac{π}{16}}{\cos \frac{7 π}{16} \cos \frac{3 π}{8}} \to 2; \sin A = \cos (\frac{π}{2} - A)$
$โดย \sin \frac{π}{16} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{16}) = \cos \frac{7 π}{16} แทนใน 1 จะได้ \tan \frac{7 π}{16} - \tan \frac{3 π}{8} = \frac{\cos \frac{7 π}{16}}{\cos \frac{7 π}{16} \cos \frac{3 π}{8}} = \frac{1}{\cos \frac{3 π}{8}}; \frac{1}{\cos A} = \sec A = \sec \frac{3 π}{8}; \sec A = cosec (\frac{π}{2} - A) = cosec (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{8}) = cosec \frac{π}{8}$