ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตร} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}}=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \\ \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\square +\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\square \right)}{\mathrm{h}}=\mathrm{f}\text{'}\left(\square \right)\to \boxed{1} \\ \mathrm{จากโจทย์} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{3\mathrm{hx}+2\mathrm{h}}{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}+2\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{h}+2\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2\right)-\mathrm{P}\left(2\right)}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{h}\left(3\mathrm{x}+2\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2+\mathrm{h}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2\right)+\mathrm{P}\left(2+\mathrm{h}\right)-\mathrm{P}\left(2\right)}=1 \\ \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{h}\left(3\mathrm{x}+2\right)}{\mathrm{h}}}\right)}{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2+\mathrm{h}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2\right)+\mathrm{P}\left(2+\mathrm{h}\right)-\mathrm{P}\left(2\right)}{\mathrm{h}}}\right)}=1 \\ \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\frac{3\mathrm{x}+2}{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2+\mathrm{h}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{x}+2\right)}{\mathrm{h}}+\frac{{\displaystyle \mathrm{P}\left(2+\mathrm{h}\right)-\mathrm{P}\left(2\right)}}{\mathrm{h}}}\right)}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} \frac{3\mathrm{x}+2}{\mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{x}+2\right)+\mathrm{P}\text{'}\left(2\right)}=1 \\ 3\mathrm{x}+2=\mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{x}+2\right)+\mathrm{P}\text{'}\left(2\right)\to \boxed{2} \\ \mathrm{แทน} \mathrm{x}=0 3\left(0\right)+2=\mathrm{P}\text{'}\left(0+2\right)+\mathrm{P}\text{'}\left(2\right) \\ 2=2\mathrm{P}\text{'}\left(2\right) \\ \mathrm{P}\text{'}\left(2\right)=1 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{2} \\ \mathrm{จะได้} 3\mathrm{x}+2=\mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{x}+2\right)+1 \\ \mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{x}+2\right)=3\mathrm{x}+1\to \boxed{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{a}=\mathrm{x}+2 \\ \mathrm{x}=\mathrm{a}-2 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{3} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{a}\right)=3\left(\mathrm{a}-2\right)+1 \\ \mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{a}\right)=3\mathrm{a}-5 \\ \mathrm{P}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{x}-5 ; \int \mathrm{dx} \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3{\mathrm{x}}^2}{2}-5\mathrm{x}+\mathrm{c}\to \boxed{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{P}\left(0\right)=1 \\ \frac{3(0{)}^2}{2}-5\left(0\right)+\mathrm{c}=1 \\ \mathrm{c}=1 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{4} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3{\mathrm{x}}^2}{2}-5\mathrm{x}+1 \\ \mathrm{ดังนั้น} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{P}\left(12\right)=\frac{3(12{)}^2}{2}-5\left(12\right)+1 \\ =216-60+1 \\ =157 \end{gathered}$$