ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 29

ให้ $θ$ เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a และ b เป็นค่ามากสุดของ $\cos^{4} θ - \sin^{4} θ$ และ $3 \sin θ + 4 \cos θ$ ตามลำดับ แล้ว $a + b$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a = \cos^{4} θ - \sin^{4} θ = {(\cos^{2} θ)}^{2} - {(\sin^{2} θ)}^{2} = (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) โดย \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 = (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) (1) = \cos 2 θ$

$โดย - 1 \leq \cos x \leq 1 จะได้ - 1 \leq \cos 2 θ \leq 1 แสดงว่า a = \cos 2 θ = 1 (a เป็นค่ามากสุดของ \cos^{4} θ - \sin^{4} θ)$

$จากโจทย์ b = 3 \sin θ + 4 \cos θ = \frac{5}{5} (3 \sin θ + 4 \cos θ) = 5 (\frac{3}{5} \sin θ + \frac{4}{5} \cos θ)$

$b = 5 (\sin β \sin θ + \cos β \cos θ) b = 5 \cos (β - θ) โดย - 1 \leq \cos x \leq 1 จะได้ - 1 \leq \cos (β - θ) \leq 1 แสดงว่า b = 5 \cos (β - θ) = 5 (1) = 5 (b เป็นค่ามากสุดของ 3 \sin θ + 4 \cos θ) ดังนั้น a + b = 1 + 5 = 6$