ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2563

ข้อ 34

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน นิยามโดย $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x}{x - x^{2}} & เมื่อ x < 0 \\ \frac{a x^{2} + (b - a) x - b}{x - 1} & เมื่อ 0 \leq x \leq 1 \\ {(x + b)}^{2} & เมื่อ x \geq 1 \end{matrix}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้าฟังก์ชัน $f$ ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง แล้ว $f (a + b)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$25$
2
$16$
3
$9$
4
$4$
5
$\frac{1}{6}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$พิจารณาความต่อเนื่องที่ x = 0 จะได้ \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{x - x^{2}} = \frac{a {(0)}^{2} + (b - a) (0) - b}{0 - 1} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{x (1 - x)} = \frac{- b}{- 1} \frac{1}{1 - 0} = b b = 1$

$พิจารณาความต่อเนื่องที่ x = 1 จะได้ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x^{2} + (1 - a) x - 1}{x - 1} = {(1 + 1)}^{2} \lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x^{2} - a x + x - 1}{x - 1} = 4$

$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{a x (x - 1) + (x - 1)}{x - 1} = 4 \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(a x + 1) (x - 1)}{(x - 1)} = 4 a (1) + 1 = 4 a = 3$

$ดังนั้น f (a + b) = f (3 + 1) = f (4) = {(4 + 1)}^{2} = 25 \to ตอบ 1$

ข้อถัดไป