ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 33

ให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงบวก โดยมีผลบวก $n$ พจน์แรกของลำดับ

เท่ากับ $3 n^{2} + 2 n$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, . . .$ ถ้า $\frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{2^{2}} a_{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} a_{2^{3}} + . . . + \frac{1}{2^{10}} a_{2^{10}} = m$

แล้วจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $m$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ผลบวก n พจน์แรก เท่ากับ 3 n^{2} + 2 n จะได้ S_{n} = 3 n^{2} + 2 n - แทน n = 1 S_{1} = 3 {(1)}^{2} + 2 (1) a_{1} = 5 - แทน n = 2 S_{2} = 3 {(2)}^{2} + 2 (2) a_{1} + a_{2} = 16 5 + a_{2} = 16 a_{2} = 11$

$จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n} เป็นลำดับเลขคณิต จะได้ d = ผลต่างร่วม d = a_{2} - a_{1} d = 11 - 5 = 6 จากสูตร a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{n} = 5 + (n - 1) (6) a_{n} = 6 n - 1 \to 1$

$จากโจทย์ \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{2^{2}} a_{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} a_{2^{3}} + . . . + \frac{1}{2^{10}} a_{2^{10}} = m \to 2$

$จาก 1 จะได้ a_{2} = 6 (2) - 1 a_{2^{2}} = 6 (2^{2}) - 1 a_{2^{3}} = 6 (2^{3}) - 1 ⋮ a_{2^{10}} = 6 (2^{10}) - 1 - แทนค่า a_{2}, a_{2^{2}}, a_{2^{3}}, . . . a_{2^{10}} ใน 2$

$m = \frac{1}{2} [6 (2) - 1] + \frac{1}{2^{2}} [6 {(2)}^{2} - 1] + \frac{1}{2^{3}} [6 {(2)}^{3} - 1] + . . . + \frac{1}{2^{10}} [6 {(2)}^{10} - 1] = (6 - \frac{1}{2}) + (6 - \frac{1}{2^{2}}) + (6 - \frac{1}{2^{3}}) + . . . + (6 - \frac{1}{2^{10}}) = \underset{10 ตัว}{\underset{⏟}{(6 + 6 + 6 + . . . + 6)}} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + . . . + \frac{1}{2^{10}})$

$= 60 - \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} = 60 - \frac{\frac{1}{2} (1 - {(\frac{1}{2})}^{10})}{1 - \frac{1}{2}} = 60 - [1 - {(\frac{1}{2})}^{10}] = 59 + \frac{1}{2^{10}}; โดย \frac{1}{2^{10}} < 1 ดังนั้น จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า m คือ 59$