ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 39

กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก และให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_{1} = a, a_{2} = b$ และ $a_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1}}{n - 1}$ สำหรับ $n = 3, 4, 5, \dots$ ถ้า $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} = \frac{31}{8}$ และ $\sum_{i = 1}^{10} a_{i} = \frac{30}{8}$ แล้วค่าของ ${(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1}}{n - 1} \to 1 (n - 1) a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n - 1} {na}_{n} - a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n - 1} {na}_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n - 1} + a_{n} \to 2 จาก 1 กำหนดให้ n = n + 1 จะได้ a_{n + 1} = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{(n + 1) - 1}}{(n + 1) - 1}$

$a_{n + 1} = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}}{n} {na}_{n + 1} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n} \to 3 จาก 2, 3 จะได้ {na}_{n + 1} = {na}_{n} a_{n + 1} = a_{n} สำหรับ n = 3, 4, 5, . . . แสดงว่า a_{4} = a_{3}, a_{5} = a_{4}, a_{6} = a_{5}, . . . a_{3} = a_{4} = a_{5} = . . . = a_{n}$

$จาก 1 a_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1}}{n - 1} แทน n = 3 a_{3} = \frac{a_{1} + a_{2}}{3 - 1} a_{3} = \frac{a + b}{2}; โดย a_{4} = a_{3} a_{4} = \frac{a + b}{2}$

$จากโจทย์ a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} = \frac{31}{8} a + 2 b + 3 (\frac{a + b}{2}) + 4 (\frac{a + b}{2}) = \frac{31}{8} 8 a + 16 b + 12 a + 12 b + 16 a + 16 b = 31 36 a + 44 b = 31 \to 4$

$จากโจทย์ \sum_{i = 1}^{10} a_{i} = \frac{30}{8} จะได้ a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{10} = \frac{30}{8} a_{1} + a_{2} + (\underset{8 ตัว}{\underset{⏟}{a_{3} + . . . + a_{3}}}) = \frac{30}{8} a_{1} + a_{2} + 8 a_{3} = \frac{30}{8} a + b + 8 (\frac{a + b}{2}) = \frac{30}{8} 5 a + 5 b = \frac{30}{8} 4 a + 4 b = 3 \to 5$

$- จาก 4, 5 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2} ดังนั้น {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} = {(\frac{1}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 + 2)}^{2} = 36$