ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

$พิจารณาเอกภพสัมพัทธ์ U จากอสมการ x^{2} (x^{2} - 1) \geq 0 x^{2} (x - 1) (x + 1) \geq 0 โดยที่ x^{2} \geq 0 จะเป็นจริงเมื่อ x = 0 ดังนั้น (x - 1) (x + 1) \geq 0; x = 0 x \geq 1, - 1; x = 0$

$แต่ x = 0 ทำให้อสมการเป็นจริงด้วย ดังนั้น U = (- \infty, - 1] \cup \{0\} \cup [1, \infty)$

$1) พิจารณา P (x) แทน |x| > 1 \to 1 ให้ |x| > a จะได้ x = (- \infty, - a) \cup (a, \infty) แสดงว่า |x| > 1 จะได้ x = (- \infty, - 1) \cup (1, \infty) ดังนั้น P (x) = (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

$- พิจารณา \forall x [P (x)] \forall x [P (x)] = x ทุกตัวใน U อยู่ใน P (x) - ลองแทน x = 0 จากใน U ซึ่งจาก 1 ทำให้ |0| > 1 เป็นเท็จ แสดงว่า 0 \in U ทำให้ P (0) เป็นเท็จ ดังนั้น \forall x [P (x)] เป็นเท็จ ทำให้ ~ \forall x [P (x)] เป็น จริง$

$2) พิจารณา Q (x) แทน x^{2} - x \geq 2 \to 2 x^{2} - x - 2 \geq 0 (x - 2) (x + 1) \geq 0 x \geq 2, - 1$

$ดังนั้น Q (x) = (- \infty, - 1] \cup [2, \infty) - พิจารณา \exists x [Q (x)] \exists x [Q (x)] = x บางตัวใน U อยู่ใน Q (x) - ลองแทน x = - 1 จากใน U ซึ่งจาก 2 ทำให้ {(- 1)}^{2} - (- 1) \geq 2 เป็นจริง แสดงว่ามี - 1 \in U ทำให้ Q (- 1) เป็นจริง ดังนั้น \exists x [Q (x)] เป็น จริง$

$3) พิจารณา \forall x [Q (x) \to P (x)] \forall x [Q (x) \to P (x)] = x ทุกตัวใน U อยู่ใน Q (x) \to P (x) - พิจารณา Q (x) \to P (x) สมมติให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ โดยให้ Q (x) \equiv T, P (x) \equiv F - ลองแทน x = - 1 จากใน U ซึ่งจาก 2 ทำให้ (- 1)^{2} - (- 1) \geq 2 เป็นจริง ดังนั้น Q (- 1) \equiv T และ จาก 1 ทำให้ |- 1| > 1 เป็น เท็จ ดังนั้น P (- 1) \equiv F แสดงว่ามี - 1 \in U ที่ทำให้ Q (- 1) \to P (- 1) \equiv T \to F \equiv F เป็นเท็จ (ตามที่สมมติไว้) ดังนั้น \forall x [Q (x) \to P (x)] เป็น เท็จ$

$4) พิจารณา S (x) แทน 1 - x < 0 \to 3 จะได้ x > 1 ดังนั้น S (x) = (1, \infty)$

$- พิจารณา \exists x [S (x) \land P (x)] \exists x [S (x) \land P (x)] = x บางตัวใน U อยู่ใน [S (x) \land P (x)] - ลองแทน x = 2 จากใน U ซึ่งจาก 3 ทำให้ 1 - 2 < 0 เป็นจริง ดังนั้น S (2) \equiv T และจาก 1 ทำให้ |2| > 1 เป็นจริง ดังนั้น P (2) \equiv T แสดงว่ามี 2 \in U ทำให้ S (2) \land P (2) \equiv T \land T \equiv T เป็นจริง ดังนั้น \exists x [S (x) \land P (x)] เป็น จริง$

$5) \forall x [S (x) \to ~ (P (x) \leftrightarrow R (x))] - พิจารณา S (x) \to ~ (P (x) \leftrightarrow R (x)) สมมติให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ หมายความว่า S (x) \equiv T และ ~ (P (x) \leftrightarrow R (x)) \equiv F - ลองแทน x = 3 จากใน U จาก 3 ทำให้ 1 - 3 < 0 เป็นจริง ดังนั้น S (3) \equiv T จาก 1 ทำให้ | 3 | \geq 1 เป็น จริง ดังนั้น P (3) \equiv T และโจทย์ให้ R (x) แทน x < 0 ทำให้ 3 < 0 เป็นเท็จ ดังนั้น R (3) \equiv F แสดงว่ามี 3 \in U ที่ทำให้ S (3) \to ~ (P (3) \leftrightarrow R (3)) \equiv T \to ~ (T \leftrightarrow F) \equiv T \to ~ F \equiv T \to T \equiv T เป็นจริงเสมอ$