ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 18

ให้ $z_{1} = \frac{1 + 7 i}{{(2 - i)}^{2}}$ และ $z_{2} = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i}$ เมื่อ $i^{2} = - 1$ ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ที่สอดคล้องกับ $|a z_{1} + b \bar{z_{2}}| = 2$ แล้วค่าของ $a^{2} + b^{2}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1$
2
$2$
3
$4$
4
$8$
5
$12$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ z_{1} = \frac{1 + 7 i}{{(2 - i)}^{2}} - จัดรูป z_{1} จะได้ z_{1} = \frac{1 + 7 i}{4 - 4 i + i^{2}} = \frac{1 + 7 i}{3 - 4 i} = \frac{1 + 7 i}{3 - 4 i} (\frac{3 + 4 i}{3 + 4 i}) = \frac{3 + 25 i + 28 i^{2}}{3^{2} + 4^{2}} = \frac{- 25 + 25 i}{25} = - 1 + i$

$จากโจทย์ z_{2} = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i} - จัดรูป z_{2} จะได้ z_{2} = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i} (\frac{1 + 2 i}{1 + 2 i}) = \frac{1 + 5 i + 6 i^{2}}{1^{2} + 2^{2}} = \frac{- 5 + 5 i}{5} = - 1 + i$

$จากโจทย์ |{az}_{1} + b z_{2}| = 2 - แทน z_{1}, z_{2} จะได้ |a (- 1 + i) + b (- 1 + i)| = 2 |a (- 1 + i) + b (- 1 - i)| = 2 |- a + ai - b - bi| = 2 |(- a - b) + (a - b) i| = 2 \sqrt{{(- a - b)}^{2} + {(a - b)}^{2}} = 2$
$a^{2} + 2 ab + b^{2} + a^{2} - 2 ab + b^{2} = 4 2 a^{2} + 2 b^{2} = 4 2 (a^{2} + b^{2}) = 4 a^{2} + b^{2} = 2$