ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{เซต} \mathrm{A}} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \frac{4\mathrm{x}}{4{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7}+\frac{3\mathrm{x}}{4{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+7}=1 \\ \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{M}=4{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+7 \\ \mathrm{จะได้} 4{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7=\mathrm{M}+\mathrm{x} \\ \mathrm{และ} 4{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+7=\mathrm{M}-\mathrm{x} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} \frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{M}+\mathrm{x}}+\frac{3\mathrm{x}}{\mathrm{M}-\mathrm{x}}=1 \\ \frac{4\mathrm{x}\left(\mathrm{M}-\mathrm{x}\right)+3\mathrm{x}\left(\mathrm{M}+\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{M}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{M}-\mathrm{x}\right)}=1 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \frac{4\mathrm{Mx}-4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{Mx}+3{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{M}}^2-{\mathrm{x}}^2}=1 \\ 7\mathrm{Mx}-{\mathrm{x}}^2={\mathrm{M}}^2-{\mathrm{x}}^2 \\ 7\mathrm{Mx}-{\mathrm{M}}^2=0 \\ \mathrm{M}\left(7\mathrm{x}-\mathrm{M}\right)=0 \\ \mathrm{จะได้} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{M}=0 \mathrm{หรือ} 7\mathrm{x}-\mathrm{M}=0 \\ \mathrm{แทนค่า} \mathrm{M}=4{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 4{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+7=0 \cup 7\mathrm{x}-\left(4{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+7\right)=0 \\ \mathrm{x}=\frac{-\left(-9\right)\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-\left(4\right)\left(4\right)\left(7\right)}}{2\left(4\right)} -4{\mathrm{x}}^2+16\mathrm{x}-7=0 \\ \mathrm{x}=\frac{9\pm \sqrt{-31}}{8} 4{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}+7=0 \\ \mathrm{ข้างใน} \sqrt{} \mathrm{ติดลบ} \mathrm{เป็นไปไม่ได้} \left(2\mathrm{x}-1\right)\left(2\mathrm{x}-7\right)=0 \\ \therefore \mathrm{ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง} \mathrm{x}=\frac{7}{2},\frac{1}{2} \end{gathered}$$
$\mathrm{ดังนั้น} \mathrm{A}=\{\frac{7}{2},\frac{1}{2}\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณา}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ก}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{A}\subset \mathrm{B} \mathrm{เป็นจริงเมื่อสมาชิกของ} \mathrm{A} \mathrm{ทุกตัว} \\ \mathrm{ทำให้อสมการ} \left|{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\right|+{\mathrm{x}}^2>4 \mathrm{เป็นจริง} \\ \mathrm{โดย} \mathrm{A}=\{\frac{7}{2},\frac{1}{2}\} \\ \mathrm{แทน} \mathrm{x}=\frac{7}{2} \mathrm{จะได้} \left|{\left(\frac{7}{2}\right)}^2-2\left(\frac{7}{2}\right)\right|+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2>4 \\ \left|\frac{49}{4}-\frac{28}{4}\right|+\frac{49}{4}>4 \\ \frac{70}{4}>4 \mathrm{เป็นจริง} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{แทน} \mathrm{x}=\frac{1}{2} \mathrm{จะได้} \left|\frac{1}{4}-2\left(\frac{1}{2}\right)\right|+\frac{1}{4}>4 \\ 1>4 \mathrm{ไม่เป็นจริง} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ก}\right) \mathrm{ผิด} \\ \mathbf{พิจารณา}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ข}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต} \mathrm{A}\cap \mathrm{B} \mathrm{เท่ากับ} 2 \\ \mathrm{โดย} \mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\left\{\frac{7}{2}\right\}\to \mathrm{n}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=1 \mathrm{ตัว} \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต} \mathrm{A}\cap \mathrm{B}=2^{\mathrm{n}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)} \\ \mathrm{จะได้} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=2^1=2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ข}\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$