ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 12

กำหนดให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง

$p$ แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

และ $q$ แทนประพจน์ "ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเรนจ์ของความสัมพันธ์

$\{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0\}$ เท่ากับ $3$ "

ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ

1
$(p \leftrightarrow q) \lor ~ (p \land q)$
2
$(q \leftrightarrow ~ p) \land (q \to p)$
3
$(p \to q) \leftrightarrow (q \lor q)$
4
$(p \to q) \to (q \to ~ p)$
5
$(q \to ~ p) \to (p \to q)$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0\} x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0 จะได้ x^{2} = 0 และ y^{2} - 9 = 0 x = 0 \cap (y - 3) (y + 3) = 0 y = - 3, 3 แสดงว่า \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0\} = \{(0, - 3), (0, 3)\}$

$จากโจทย์ q แทนประพจน์ " ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเรนจ์ของความสัมพันธ์ " จะได้ ผลบวกของเรนจ์ = - 3 + 3 = 0 ดังนั้น q มีค่าความจริงเป็นเท็จ \to q \equiv T จากโจทย์ p แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ p \equiv T$

$พิจารณาตัวเลือก 1) (p \leftrightarrow q) \lor ~ (p \land q) \equiv (T \equiv T) \lor ~ (T \land T) \equiv T \lor ~ T \equiv T \lor F \equiv T$

$2) (q \leftrightarrow ~ p) \land (q \leftrightarrow p) \equiv (T \leftrightarrow ~ T) \land (T \to T) \equiv (T \leftrightarrow F) \land T \equiv T \land T \equiv T$

$3) (p \to q) \leftrightarrow (q \lor q) \equiv (T \to T) \leftrightarrow (T \lor T) \equiv T \leftrightarrow T \equiv T 4) (p \to q) \to (q \to ~ p) \equiv (T \to T) \to (T \to ~ T) \equiv T \to (T \to F) \equiv T \to F$