ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 43

ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า $A$ เป็นเซตของข้อมูล $2 n$ จำนวน คือ $1, 2, 3, . . ., n, - 1, - 2, - 3, . . ., - n$ โดยที่ความแปรปรวนของข้อมูลในเซต $A$ เท่ากับ $46$ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, . . ., n^{3}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A เป็นเซตของข้อมูล 2 n จำนวน คือ 1, 2, 3, \dots, n, - 1, - 2, - 3, \dots, - n จากสูตร \bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} x}{N} จะได้ x = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n + (- 1) + (- 2) + (- 3) + \dots + (- n)}{n + n} \bar{x} = \frac{0}{2 n} \bar{x} = 0$

$จากโจทย์ ความแปรปรวนของข้อมูลในเซต A เท่ากับ 46 จะได้ s^{2} = 46 จากสูตร s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} {(x - \bar{x})}^{2}}{N} 46 = \frac{\sum_{i = 1}^{2 n} {(x - \bar{x})}^{2}}{2 n} 46 = \frac{\sum_{i = 1}^{2 n} {(x_{i} - 0)}^{2}}{2 n}$

$46 = \frac{1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2} + \dots + {(- n)}^{2}}{2 n} 46 = \frac{2 (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})}{2 n} 46 = \frac{(1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})}{n}$

$จากสูตร \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = \frac{n}{6} (n + 1) (2 n + 1) จะได้ 46 = \frac{\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}}{n} 46 = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6} 276 = (n + 1) (2 n + 1) 276 = 2 n^{2} + 3 n + 1 2 n^{2} + 3 n - 275 = 0 (2 n + 25) (n - 11) = 0 n = 11, - \frac{25}{2}$

$จากโจทย์ n เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า n = 11 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \dots, n^{3} = \frac{1^{3} + 2^{3} + \dots + 11^{3}}{11} จากสูตร \sum_{i = 1}^{N} i^{3} = {[\frac{n}{2} (n + 1)]}^{2} จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \dots, n^{3} = {[\frac{(11) (11 + 1)}{2}]}^{2} [\frac{1}{11}] = 396 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \dots, n^{3} = 396$