ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 7

กำหนด $A B C$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่จุดยอด $A$ จุดยอด $B$ และจุดยอด $C$ อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง มีรัศมีเท่ากับ $R$ หน่วย ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุม $A$ และมุม $B$ เท่ากับ $a$ และ $b$ หน่วยตามลำดับ มุม $A \hat{B} C$ เท่ากับ $18 °$ และมุม $A \hat{C} B$ เท่ากับ $36 °$ แล้วค่าของ $a - b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$R$
2
$\frac{1}{2} R$
3
$\frac{1}{4} R$
4
$\frac{1}{16} R$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มุม ABC เท่ากับ 18 ° และมุม ACB เท่ากับ 36 ° จะได้ A \overset{⏞}{B} C = 18 °, A \overset{⏞}{C} B = 36 ° B \overset{⏞}{A} C = 180 - 36 - 18 = 126 ° (มุมภายในสามเหลี่ยม = 180 °) นำมาวาดรูป$

$จากโจทย์ วงกลมมีรัศมีเท่ากับ R หน่วย ความยาวของด้านตรงข้าม มุม A และมุม B เท่ากับ a และ b หน่วยตามลำดับ กฎของวงกลม (ม . ต้น) มุมที่จุดศูนย์กลาง = 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวงเมื่อรองรับด้วยเส้นโค้งที่เท่ากัน กำหนดให้ จุด O = จุดศูนย์กลางของวงกลม จาก B \overset{⏞}{A} C = 126 ° จะได้ B \overset{⏞}{O} C = 2 (126 °) = 252 ° - นำมาวาดรูป$

$แบ่งครึ่งมุมป้านของ B \overset{⏞}{O} C = \frac{108 °}{2} = 54 ° ซึ่งจะทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป$

$จะได้ \sin 54 ° = \frac{(\frac{a}{2})}{R} \frac{a}{2} = Rsin 54 ° a = 2 Rsin 54 ° จากสูตร กฎของไซด์ \frac{sinA}{a} = \frac{sinB}{b} จะได้ \frac{\sin 126 °}{a} = \frac{\sin 18 °}{b} b = \frac{asin 18 °}{\sin 126 °}; แทนค่า a b = \frac{(2 Rsin 54 °) \cdot \sin 18 °}{\sin 126 °} \to 1$

$โดย \sin 126 ° = \sin (180 ° - 54 °) = \sin 180 ° \cos 54 ° - \cos 180 ° \sin 54 ° = 0 - (- 1) \sin 54 ° = \sin 54 ° จาก 1 จะได้ b = \frac{(2 Rsin 54 °) \cdot \sin 18 °}{\sin 54 °} b = 2 Rsin 18 °$

$ดังนั้น a - b = 2 Rsin 54 ° - 2 Rsin 18 °; เปลี่ยน \sin 54 ° = \sin 126 ° = 2 R [\sin 126 ° - \sin 18 °]; คูณ \frac{2 \cos 54 °}{2 \cos 54 °} จะได้ = 2 R [\frac{2 \cos 54 ° \sin 126 ° - 2 \cos 54 ° \sin 18 °}{2 \cos 54 °}]$

$จากสูตร 2 cosAsinB = \sin (A + B) - \sin (A - B) จะได้ a - b = 2 R [\frac{(\sin 180 ° + \sin 72 °) - (\sin 72 ° - \sin 36 °)}{2 \cos 54 °}] = 2 R [\frac{0 + \sin 72 ° - \sin 72 ° + \sin 36 °}{2 \cos 54 °}] = 2 R (\frac{\sin 36 °}{2 \cos 54 °}) = 2 R (\frac{\sin 36 °}{2 \cos (90 - 36) °}) = 2 R (\frac{\sin 36 °}{2 \sin 36 °}) = R ดังนั้น ค่าของ a - b เท่ากับ R$

ข้อถัดไป