ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 41

กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน นิยามโดย $f (x) = \{\begin{matrix} \begin{matrix} e^{2 x} + 2 a & , x < 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a + b & , x = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{\sqrt{1 + b x + 5 x^{2}} - 1}{x} & , x > 0 \end{matrix} \end{matrix}$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้าฟังก์ชัน $f$ มีความต่อเนื่องที่ $x = 0$ แล้วค่าของ $15 a + 30 b$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f มีความต่อเนื่องที่ x = 0 จะได้ f (0) = \lim_{n \to 0^{-}} f (x) = \lim_{n \to 0^{+}} f (x) พิจารณา f (0) = \lim_{n \to 0^{-}} f (x) จะได้ a + b = \lim_{n \to 0^{-}} [e^{2 x} + 2 a] a + b = e^{2 (0)} + 2 a b = 1 + a \to 1$

$พิจารณา f (0) = \lim_{n \to 0^{+}} f (x) จะได้ a + b = \lim_{n \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} - 1}{x} \to 2 แทน x = 0 ใน \lim_{n \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} - 1}{x} จะได้ \frac{0}{0} \to ต้องจัดรูปใหม่ จาก 2 จะได้ a + b = \lim_{n \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} - 1}{x} \cdot (\frac{\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} + 1}{\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} + 1})$

$= \lim_{n \to 0^{+}} \frac{1 + bx + 5 x^{2} - 1}{x (\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} + 1)} = \lim_{n \to 0^{+}} \frac{x (b + 5 x)}{x (\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} + 1)} = \lim_{n \to 0^{+}} \frac{b + 5}{\sqrt{1 + bx + 5 x^{2}} + 1} = \frac{b + 5 (0)}{\sqrt{1 + b (0) + 5 {(0)}^{2}} + 1} = \frac{b}{2}$

$จะได้ 2 a + 2 b = b b = - 2 a; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ 1 + a = - 2 a 3 a = - 1 a = - \frac{1}{3} แสดงว่า b = 1 + (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

$ดังนั้น ค่าของ 15 a + 30 b = 15 (- \frac{1}{3}) + 30 (\frac{2}{3}) = - 5 + 20 = 15$