ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 33

ให้ S เป็นเซตของจำนวนจริง x ทั้งหมดที่ทำให้เมทริกซ์ $[\begin{matrix} 4 & - 2 & 7 \\ x & - 1 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{matrix}]$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน

และให้ y เท่ากับผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต S

ถ้า $A = [\begin{matrix} y & 1 \\ - 1 & y \end{matrix}]$ แล้วค่าของ $d e t {({({(A^{t})}^{- 1})}^{t})}^{- 1}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ B = [\begin{matrix} 4 & - 2 & 7 \\ x & - 1 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{matrix}] \det B = |\begin{matrix} 4 & - 2 & 7 \\ x & - 1 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{matrix}| \det B = [- 4 x - 12] - [- 14 - 2 x^{2}] \det B = 2 x^{2} - 4 x + 2 \to 1 จากโจทย์ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน จะได้ \det B = 0$
$จาก 1 จะได้ 2 x^{2} - 4 x + 2 = 0 x^{2} - 2 x + 1 = 0 {(x - 1)}^{2} = 0 x = 1 ดังนั้น เซต S = \{1\}$

$จากโจทย์ y เท่ากับผลบวกของสมาชิกในเซต S แสดงว่า y = 1 จากโจทย์ A = [\begin{matrix} y & 1 \\ - 1 & y \end{matrix}] จะได้ A = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] \det A = |\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}| = (1) - (- 1) = 2$

$ดังน้น \det {({({(A^{t})}^{- 1})}^{t})}^{- 1} = \frac{1}{\det {({(A^{t})}^{- 1})}^{t}} = \frac{1}{\det {(A^{t})}^{- 1}} = \frac{1}{[\frac{1}{\det (A^{t})}]}$