ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 32

พาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ $A (- 3, 2)$ มีแกนสมมาตรขนานแกน x และโฟกัส F อยู่บนเส้นตรง L ซึ่งมีสมการเป็น $4 x - 3 y + 14 = 0$ ถ้าพาราโบลานี้ตัดกับเส้นตรง L ที่จุด $B (a, b)$ โดยที่ $a > 0$ แล้วผลคูณของเวกเตอร์ $\vec{AF} \cdot \vec{FB}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ พาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A (- 3, 2) มีแกนสมมาตรขนานแกน x แสดงว่า เป็นพาราโบลาเปิดซ้าย หรือเปิดขวา มีโฟกัส F (k, 2)$

$จากโจทย์ โฟกัส F อยู่บนเส้นตรง L ซึ่งมีสมการเป็น 4 x - 3 y + 14 = 0 แทน F (k, 2) ใน 4 x - 3 y + 14 = 0 4 (k) - 3 (2) + 14 = 0 4 k - 6 + 14 = 2 k = - 2 แสดงว่า โฟกัส F (- 2, 2)$

$- พาราโบลามีจุดยอด A (- 3, 2), โฟกัส F (- 2, 2) จะได้ c = - 2 - (- 3) \to c = 1 สูตร {(y - k)}^{2} = 4 c (x - h) {(y - 2)}^{2} = 4 (1) [x - (- 3)] {(y - 2)}^{2} = 4 x + 12 จากโจทย์ พาราโบลานี้ตัดกับเส้นตรง L ที่จุด B (a, b) - แทน 4 x - 3 y + 14 = 0 ลงใน {(y - 2)}^{2} = 4 x + 12 4 x = 3 y - 14 \to 1 ลงใน {(y - 2)}^{2} = 4 x + 12$
$จะได้ {(y - 2)}^{2} = (3 y - 14) + 12 y^{2} - 4 y + 4 = 3 y - 2 y^{2} - 7 y + 6 = 0 (y - 1) (y - 6) = 0 y = 1, 6 y = 1 แทนใน 1 จะได้ x = - \frac{11}{4} \to จุด B (- \frac{11}{4}, 1) y = 6 แทนใน 1 จะได้ x = 1 \to จุด B (1, 6)$

$จากโจทย์ จุด B (a, b) โดยที่ a > 0 ดังนั้น B (1, 6) จาก A (- 3, 2), B (1, 6), F (- 2, 2) จะได้ \bar{AF} = [\begin{matrix} - 2 - (- 3) \\ 2 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \bar{FB} = [\begin{matrix} 1 - (- 2) \\ 6 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}] ดังนั้น \bar{AF} \cdot \bar{FB} = 1 (3) + 0 (4) = 3$