ข้อสอบคณิต 9 สามัญ - ปี 2564

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} z = rcis\theta \\ \mathrm{จะได้} z^n = r^{n}cisn\theta \\ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}cis\left(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\right) \\ \mathrm{โดย} k=0, 1, 2, \dots , n-1 \\ \mathrm{จากโจทย์} z_1, z_2, z_3, z_4 \mathrm{เป็นรากที่} 4 \mathrm{ที่แตกต่างกัน} \\ \mathrm{ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} z = \mathrm{จำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง} \\ \mathrm{จะได้} z_1 = z^{\frac{1}{4}} , z_2 = z^{\frac{1}{4}} , z_3 = z^{\frac{1}{4}} , z_4 = z^{\frac{1}{4}} \\ z_1 = z^{\frac{1}{4}} \to z = {z_1}^4 \to \overline{)1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} z_1 = 2\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{9}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{9}\right) \\ z_1 = 2cis\frac{\mathrm{\pi }}{9} = 2cis20° ; r=2 , \theta =\frac{\mathrm{\pi }}{9} \\ \mathrm{จาก} \overline{)1} z = {\left(2cis20°\right)}^4 \\ z = 2^{4}cis4\left(20°\right) \\ z = 16cis80° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โดย} z_1, z_2, z_3, z_4 \mathrm{เป็นรากที่} 4 \to \frac{360°}{4} = 90° \\ \mathrm{จะได้} z_1 = 2cis20° \\ z_a = 2cis\left(20°+90°\right) = 2cis110° \\ z_b = 2cis\left(110°+90°\right) = 2cis200° \\ z_c = 2cis\left(200°+90°\right) = 2cis290° \\ -\mathrm{วาดรูปวงกลม} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} Re\left(z_2\right) > 0 \\ \mathrm{จะได้} z_2 = 2cis90° \\ \mathrm{จากโจทย์} Im\left(z_3\right) > 0 \\ \mathrm{จะได้} z_3 = 2cis110° \\ \mathrm{แสดงว่า} z_4 = 2cis200° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} {\left(z_4\right)}^3 = 2^{3}cis3\left(200°\right) \\ = 8cis600° = 8cis\left(360°+240°\right) \\ = 8cis240° = 8\left(\cos 240°+i\sin 240°\right) \\ = 8\left[\cos \left(180°+60°\right)+i\sin \left(180°+60°\right)\right] \\ = 8\left[-\cos 60°+i\left(-\sin 60°\right)\right] = -8\left(\cos 60°+i\sin 60°\right) \\ = -8\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4-4\sqrt{3}i \end{gathered}$$